問題：設u為方程x²+x－1=0其中一個根，求u³+2u²+2023。

答案：由於u是方程的根，得知u²+u－1=0，即u²+u=1。

原式可整理為u(u²+u)+u²+2023=u+u²+2023=1+2023=2024

解題中留意到u為根，可以代入方程，經整理後發現，後來的算式跟原本方程裏的項有相同的部分，之後反覆代入，就可以求得數值。

平常學生做這道題可能想過，用一元二次方程的公式把解求出來，然後代入後式。這當然是複雜的，當中會有許多根式運算。學生有時會忘記，根本身就可以代入那個方程，然後移項，還是會相等，之後又可以用來輔助運算。

至於為什麼會有直接計算的想法，或者為什麼會忘記根可以代入，可能是因為操練基礎時題型見多了，有些基本求解的思路太深刻，變成了直接反應，又或者在題型的練習中見過變化太多，反而忘了最基本的部分，比如根的定義。

該題目以奧數的水平來說是入門的程度，學生在高中剛開始接觸一元二次方程時，可用來訓練，或能令學生的想法變得靈活一點。還可以訓練學生多觀察算式，見到題目裏的後方的算式，雖然未能直接用上方程結果，但經變換後可以用到一部分，然後又進一步發現，化簡後的部分還可以用得上，頗有探索與發現的樂趣。

要是學生在初中時接觸到這道題目，本身就要先自修一些一元二次方程的基礎，或者對代數式的運算有相當靈活的處理，才較易掌握。

如果題目裏的方程出現虛數根，離開了實數範圍，那樣要是嘗試解出來、再代入，算術會更複雜，若是用上之前所述的代入法，就簡潔多了。

可能在看題解時會覺得，這題之所以用反覆代入的方法，是因為題目的數和算式設計得好，所以才有好效果，其實這也只對了一半，因為原本的方程來可以整理成u²=-u+1，那樣u的二次項可以變成一次的項，反覆代入之下，無論最後想計算的算式是u的多少次，只要是正整數次方，最終還是可以全部變成一次的。這是可預見、必然可以化簡到的目標，即使化簡後還有未能計算的部分，也是遠比原本的算式簡潔得多，可以先做了再探索。

今天所介紹的題目入門門檻低，既能鞏固原本關於根的理解，又可以練習靈活處理代數式，而且也啟發了一些數學解題的普遍思想，比如用已知算式把未知的算式降次等等。

題目對於學生來說，在知識點的連結上打通了原本的基礎，突破了操練帶來的慣性，又能引領到普遍的解難思想，有多方面的聯繫，所以是一道好的題目。因此類似的技巧，在各水平的競賽上時不時就會出現。

● 張志基

簡介：奧校於1995年成立，為香港首間提供奧數培訓之註冊慈善機構(編號：91/4924)，每年均舉辦「香港小學數學奧林匹克比賽」，旨在發掘在數學方面有潛質的學生。學員有機會選拔成為香港代表隊，獲免費培訓並參加海內外重要大賽。詳情可瀏覽：www.hkmos.org。